拓扑打卡5：拓扑基、拓扑子基、邻域基

我们都知道线性空间中有一组基，那么拓扑空间中能否定义类似的东西呢？

定义1 设 是拓扑空间， ，如果 中的任意元素都可以表成 中元素的并，即

则称 是一个拓扑基。

简单举两个例子：

例1 设 是度量空间，则所有的球形邻域是其一组拓扑基；

例2 离散空间中的所有单点集是其一组拓扑基。

下面研究拓扑基的性质。

定理1 设 是拓扑空间， 。则 是一组拓扑基的充分必要条件是：对任意的 ，存在 使得 。

证明 必要性。 ，存在 使得 ，由 是拓扑基可知 使得 ，于是存在某个 使得

充分性。任取 ，则 ，于是 使得 。于是

这就是 。以上即言 中任意的开集都可表示成 中元素的并，从而 是一组拓扑基。□

注 拓扑基的定义是一种全局的概念，而定理1等价地给出了一种局部的定义方式。

定理2 设 是拓扑空间， 是其拓扑基。则

(1) ；

(2) 。

证明 (1) 显然。

(2) 由开集的交是开集，知 。由定理1即得结论。□

定理2是很自然的结果，但好玩的地方在于，定理2也可以推回去，即从这两条性质也可以唯一地确定一个拓扑和拓扑基(又是经典老番)：

定理3 设 是集合， ，如果 满足

(1) ；

(2) ，

则存在 上唯一的拓扑，使得 恰好是 的拓扑基。

证明 令 。先证它是一个拓扑。

首先显然 (空集自然， 是由(1))；

任取 ，则 ，于是

而由(2)可知固定 ， ，存在 使得 ，由定理1中类似的讨论可知 ，于是

；

任取 ，则对每个 ， 使得 ，从而

因此 确实是一个拓扑。由拓扑基的定义，立即得到 是其一组拓扑基。

最后证唯一性。假设还有另一个拓扑 以 为拓扑基，则

上式即言 。□

定理3的好处在于，我们只要验证条件中的两条即可确定一个集族是不是拓扑基。

例3 考虑实数集合 ，令 ，则 是一组拓扑基。(容易验证它满足上述的2条)

可以发现由例3中的拓扑基定义的拓扑(开集)包含了我们通常意义下的开区间，这从

即可看出。

这种拓扑称为实数集的下限拓扑，记为 。

接下来谈拓扑子基的概念。

定义2 设 是拓扑空间， ，如果 的所有非空有限子族的交构成的集族

是 的拓扑基，则称 是一组拓扑子基。

这和我们一般认为的“子”的概念似乎有点差别，因为一般来说谈到“子”的概念的话，应该是原来那个东西的一部分hhh

例4 仍然考虑实数集合 ，设

则 是一组拓扑子基。(用定义即可验证)

用子基这个概念，还是可以表演经典老番，不过结合定理3可以使证明简洁许多：

定理4 设 是集合， ，如果 ，则有唯一的拓扑以 为拓扑子基，并且 是一组拓扑基。

证明 显然 (考虑 时 中元素)，故 ；并且从 可得 ， ，于是

故存在唯一的拓扑以 为拓扑基，从而也以 为拓扑子基。□

注 这个定理的条件很容易验证，只需要证明 是 中某些集合的并就行了。

例5 设 ，试证明 是实数集合 的一个拓扑子基，且 诱导出的拓扑是离散拓扑。

证明 先来证 是拓扑子基，这从 即得。下面来看看 中有限子族的交应该是什么样子。显然，其有限子族的交只能是闭区间或单点，于是 中所有的闭区间和单点构成了 的一个拓扑基。也就是说，所有的单点都是开集；从而由任意多个开集的并是开集，可知 中任意的集合都是开集，也就是说 在这个拓扑基诱导出的拓扑的意义下是离散空间。□

用拓扑基与拓扑子基的概念，可以继续给出连续的等价定义：

定理5 设 是拓扑空间之间的映射，则以下等价：

(1) 连续；

(2) 存在 的拓扑基 ，使得对任意的 ， 是 中开集；

(3) 存在 的拓扑子基 ，使得对任意的 ， 是 中开集。

证明 显然。

任取 ，则 ，于是由有限个开集的交是开集，知

是 中开集。

设 是 中开集，则 ，从而由任意多个开集的并是开集，知

是 中开集。□

我们注意到，拓扑基仍然是一个整体的概念。那么根据定理1，能不能定义一个与其差不多的逐点的，或者说局部的概念，来构造一个与定理5类似的结论来描述 在一点连续呢？由此，我们引出邻域基与邻域子基的概念。

定义3 设 是拓扑空间， ， 称为 的邻域基，如果

定义4 设 是拓扑空间， ， 称为 的邻域子基，如果

是 的邻域基。

有了这些概念，即可导出：

定理6 设 是拓扑空间之间的映射， ，则以下等价：

(1) 在点 处连续；

(2) 存在 的邻域基 ，使得对任意的 ， 是 的邻域；

(3) 存在 的邻域子基 ，使得对任意的 ， 是 的邻域。

证明 与定理5完全类似。□

再看一下拓扑基、拓扑子基和邻域基、邻域子基之间有什么关系。

定理7 设 是拓扑空间， ，则

(1) 若 是 的拓扑基，则 是 的邻域基；

(2) 若 是 的拓扑子基，则 是 的邻域子基。

证明 (1) 由定理1立即得到。

(2) 若 是 的拓扑子基，则 是 的拓扑基，从而 是 的邻域基。但问题是这个 与 所生成的有限子族

是不是同一个？当然回答是肯定的，实际上

所以 是 的邻域子基。□

但是定理7的逆命题有点问题，因为邻域实际上不一定是开集。这里就不作展开讨论了。

最后简单定义一下序列、子列和收敛的概念。

定义5 设 是拓扑空间，映射 称为 中的序列，记为 ，或 。

定义6 设 是 中的两个序列，如果 是 上严格单调增加的函数，使得

则称 是 的一个子列。

定义7 设 是拓扑空间 中的序列， ，如果对任意的 ，都存在正数 使得 ，则称 是序列 的极限点，也称序列 收敛于 ，记作 或 。

上述的定义和我们通常意义下的数列是一致的，只是用的语言不同。而定义7中极限的概念，看起来也和我们通常定义的极限是差不多的，但是由于拓扑空间太大，它缺少了很多好的性质，最明显的就是它失去了唯一性。

对于序列更详细的讨论留到下周。